加法定理（回転行列）対話

平面の回転行列は角度 $\theta$ に対して
$$ R(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$
です。$\alpha$ 回転のあとに $\beta$ 回転を行うと
$$ R(\beta)\,R(\alpha)= \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} $$
となり、積を計算すると
$$ \begin{pmatrix} \cos\beta\cos\alpha-\sin\beta\sin\alpha & -(\cos\beta\sin\alpha+\sin\beta\cos\alpha)\\ \sin\beta\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha & \cos\beta\cos\alpha-\sin\beta\sin\alpha \end{pmatrix}. $$
一方、角度 $\alpha+\beta$ の回転行列は
$$ R(\alpha+\beta)= \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} $$
です。ゆえに成分を比較すると
$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\qquad \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta $$
が従い、これが正弦・余弦の加法定理です。